模型與遊戲，這些都是我在我先前的文章中就討論過的概念。我在〈意識的難問題，不是個好問題〉中，指出像是哲學殭屍這類概念源自於哲學家對先驗推理的過度信任，這些在論證中被使用的概念，並沒有作為任何我們想要了解之現象的「模型」，因此也無法有效幫助我們理解這個世界，從而淪為一種語言、邏輯的「遊戲」。在〈何為數學，以及為何 1+1 ＝2〉，我也使用了遊戲這個詞來描述某些數學研究（在這裡沒有貶義）。
儘管先前一直在使用，我一直都沒深入解釋這些概念，於是我打算把這些概念在這篇文章中連結起來。我會先解釋「模型」的概念，並點出邏輯如何作為世界的模型，然後再來討論為何誤用的邏輯會淪為語言遊戲。
模型
什麼叫「模型」？抽象的來說，假設我們想要了解與描述一個現象 A，我們通常會將這個現象進行化簡好方便研究，而這個經由化簡所得到的縮影，一個對 A 的模擬，就是 A 的模型。
這樣的模型的概念非常廣義，我以下舉幾個例子。在離散數學的圖論入門教材，總是少不了「柯尼斯堡七橋問題」這個經典問題。這個問題為：在柯尼斯堡這個地方，有條河經過了市中心，將陸地分為了兩岸以及中間的兩個小島，而小島與河的兩岸，總共有七座橋將他們連結起來，如下圖：
柯尼斯堡的七個橋
而現在我們的問題是，要走怎麼樣的路徑（不能跳進河游泳），才能夠通過所有的橋剛好一次？要解決這個問題，數學家會先將這個市區的地形轉換成以下的一張「圖」，如下圖所示：
柯尼斯堡的抽象模型
原本的一塊塊市區，被化簡成節點，而橋則被化簡成節點之間的連接，這個過程就叫做抽象化（移除不必要的細節），而這個過程的結果，則給了我們一個對於柯尼斯堡的「模型」。有了這個簡化的模型，城市的地形就可以被表達成嚴謹的數學句子，而這樣的表達方式就方便數學家在上頭去進行證明，進而得到「一條路徑經過所有橋剛好一次是不可能」的結論。
另外還有一個哲學家們愛用的，由維根斯坦所舉的例子。在巴黎的法庭上，玩具車被用來代表真實的車，以模擬事故現場。透過玩具車的相對位置與移動軌跡，我們就可以模擬並讓人輕易理解事故發生的過程。在這裡，玩具車為真實的車的模型，由玩具車所組成的系統則作為事故發生街口的模型。
從這個例子與柯尼斯堡的例子，我們可以看到，一個模型不需要與它所模擬的事物完全相同，而只要根據我們的討論目標捕捉到最關鍵的結構就可以了。數學上的圖，丟失了許多街道的細節，失去了長度的概念，但是我們只要捕捉到市區與橋的連接這樣抽象的結構就可以了。玩具車在許多細節上與真實的車不同，甚至可能還多了一些玩具車才有的特性，但這樣的模擬之所以成功，是因為我們只要模擬出相對位置或是移動這樣的行為就可以了。
前述的兩個模型，他們的作用比較像是對於我們已經能夠直覺理解的東西（如城市的地圖、車禍現場的排列）進行抽象的模擬。在科學中，模型這個概念也指對我們還不熟悉的現象提供的一套解釋。譬如說，牛頓的重力法則
$$ F = G\frac{m_1m_2}{r^2} $$
配合上質量、力、位置、速度、加速度這些概念整體形成了一個我們對特定自然現象，如掉落的蘋果與星星的運行，建構的一套解釋，一個模型。
在最近火紅的機器學習或是人工智慧這個領域，我們也常聽到模型這個字，不過看起來這個字在此的用法又更加廣義了。以科學中的模型來說，當我們建構一個模型，我們將一個自然現象拆解成幾個因素，並期望透過這些因素我們獲得一個較為清晰的理解。但在機器學習中，主要目的卻不像是提供解釋，而是實做出一個功能。舉現今的大型語言模型為例子好了，這樣的模型能夠在很多情況下正確模擬從前文產生出後文的這樣一個過程，但如果我們去檢視語言模型的內部運作，它並沒有提供我們一個清晰的解釋前文如何導出後文，反而這個模型本身還成了一個需要被解釋的謎。
模型的重點特性
在前述的四個用法各自有差異的「模型」中，有沒有辦法提取出一個核心的、共通的概念？找到這樣的概念會有幫助我們給出一個廣義化的「模型」的概念。在這四個例子當中，共通的點是我們先有一個我們關注、想要理解、描述、預測的目標現象。以前述的例子來講，我們想要描述的目標現象分別是柯尼斯堡、真實車禍現場、行星的移動、自然語言的結構。
再來，雖然前述的四種模型各有不太一樣的作用，但他們的共同特性就是模型與目標現象有一種同構關係。在抽象代數中，兩個結構同構的意思極為我們可以在兩個結構中建立一個一對一的對應，並且會有一些元素間的關係被這樣的對應給保留下來。我們可以把這樣的概念延伸到非嚴謹數學的物件上，來看到前面舉例的模型如何與目標現象同構。以科尼斯堡的例子，市區對應節點、橋對應連接，市區與橋的連接這樣的關係則被這樣的對應給保留下來了。以玩具車的例子來說，兩台真實的車各自對應到一個玩具車，而車之間的相對位置被這樣的對應給保留下來了。以行星的例子來說，每個時刻的行星被轉換成一個由位置、速度、加速度、質量等數字代表的結構，這樣的對應則保留下來了行星間相對位置以及行星這一時刻的狀態與下一時刻的狀態之間的關係。至於語言模型的例子，給定前文，我們可以嘗試對應人所產生的後文與語言模型所產生的後文，並發現他們有高機率會相同。因此，我想我們也可以說語言模型保留、模擬了前文如何導致後文這樣的關係。
語言作為世界的模型
語言與世界之間的關係是什麼？回答這個問題是理解邏輯推理為何有用的開始。我會說，語言，尤其當我們討論「邏輯」這個語言的子集合的時候，其主要 (但非唯一) 的作用就是作為世界的模型。當我們觀察到一個世界的狀態的時候，一個世界的狀態可以被映射、對應到一個句子。譬如說，假設你走進房間並觀察到你的貓咪在房間裡（請想像出那個畫面），這個畫面、狀態就可以被映射到「我的貓咪在我的房間」這個句子，配合其他句子例如「我在房間裡面」與「如果 A 在房間 R 內，且 B 也在房間 R 內，則 A 與 B 在同一個房間內」，你可以套用一些推理規則（rules of inference），得出結論「我與我的貓咪在同一個房間裡面」。你可以說在我將各種世界狀態映射到句子上時，而我如何從句子導出更多的結論句子這樣子的結構，與世界狀態如何導向另一個世界狀態、兩個世界狀態如何相容這樣的結構是一致的。所以我們的語言、我們接受為真的句子、我們使用的推理規則，這個整體的結構與世界有一種同構關係，它作為世界的模型。我們操作句子來得出關於世界的結論，有如我們透過操作玩具車來得出關於車禍現場的結論。
所以邏輯推理之所以有用，是因為我們先相信了一些正確的句子，採用了正確的推理規則，才能夠藉由這樣的同構關係來得出可以運用的結論。
這個同構關係，有很多種方式可以出錯。我們可能會誤把不真（即不符合世界狀態）的句子以為是真的，我們也可能會採用了錯誤的推理規則，或者是我們使用的概念與邏輯本身的結構就不適於捕捉特定現象。又或者，有時候我們在邏輯中談論的概念，根本不作為事物的模型。當這些問題發生時，我們的語言就不會再作為世界一個有效的模型，而逐漸轉變為一個「遊戲」。
遊戲
模型與遊戲之間存在一種微妙的關係。我在這邊指的遊戲，包含人們日常會玩的象棋、電玩、辦家家酒……等等。更廣義來說，如果我們做一件事單純是因為刺激、有趣、有成就感，或是一件事情沒有什麼實際用途（不否認遊戲有時候會有用），我也把它稱作遊戲。
讓我們從電玩遊戲開始好了，只要上網找找，就會發現很少有遊戲是真的建立了一個與現實世界無關的世界的。人類活在世界中，世界的映像就烙印在他們腦中，他們所創作出來的，大多就是現實的倒影，或是一些世界中各種元素的組合與變種。也是因為如此，遊戲往往也會是現實的某個面向的模擬，一個粗略的模型。以我小時候愛玩的絕對武力（Counter-Strike）為例好了，你可以說裡頭的人物為人的模型，裡頭的某些地圖也是現實的某個地方的模型，裡頭的槍枝型號、外型、能力值可能也一定程度的反應出現實中的數值。因此，這個遊戲本身的規則就是世界的一種模型。當今天我們創造出的地圖正確模擬了現實的某一個地點，這樣的模型甚至可以真的幫助人做戰略的決定，至少在熟悉地點、路徑、行動的重點上是可以作為一個合格的模擬的。不過如果我們花時間在裡面鑽研戰鬥技巧，可能就有點好笑了，畢竟實際的戰鬥肯定是與遊戲中的戰鬥是差很多的。同理，象棋也一定程度的作為現實的模型，裡頭的兵種、移動的規則粗略的反映了世界。但相對於有更詳細的參數與設計的兵推，象棋就是一個糟糕的模型了，所以沒人會期待可以用象棋學到怎麼戰爭。
所以，我們可以說，遊戲常常是作為對這世界一定程度上扭曲、失真的一個模型。當在某方面失真程度小的時候，在遊戲中的模擬可能還可以讓我們學到關於現實的知識，但是一旦越加失真，遊戲就真的只是遊戲了，我們可以從中獲得娛樂，但無法從其中獲得關於現實世界的知識。在這情況下，我們要是可以獲得什麼知識，那就是關於遊戲本身的知識。
如果我今天說，一個人無法從一個沒反應現實結構的遊戲獲得關於現實的知識，這似乎是一個很明顯的事實，以至於我花力氣寫出這點都覺得不好意思了。可是當我們今天的目標本來是透過邏輯、透過建築模型來得到關於現實的知識，卻因為邏輯、模型本身的失真而退化為一種遊戲，這個情況對有些人（特別是「聰明」的人）就未必明顯了。他可能會宣稱從這樣的邏輯中獲得了絕對的知識，但在我看來，他只不過是在他用語言打造出來的遊戲中獲得了小小的勝利，與現實並沒有太多關聯。以下我就舉一個偽裝成知識的邏輯遊戲的例子。
本體論證明
如果要提到哲學史中著名的先驗推理，那好像不能不提各種嘗試證明上帝存在的「本體論證明」。其中一個有代表性的例子來自 Saint Anselm ，這個「證明」大概如下：
- 定義：上帝是那個使我們想不出有任何東西比其更「好」的東西。
- 上帝作為我們的一個想法存在。
- 一個同時作為一個想法存在且實際存在的東西，比只作為一個想法存在的東西，更加地好。
- 假如上帝只作為一個想法存在，那麼我們就想的出來一個真實存在的東西比上帝更好（根據 3）
- 可是根據 1 我們不可能想得出一個比上帝好的東西，所以 4 是個矛盾
- 所以上帝是真實存在的而不是只是一個想法
當我閱讀這個證明的時候，感覺好像從句子到句子之間都有適當的邏輯支撐。但同時又感覺哪裡怪怪的，想點出問題卻找不到確切的問題，有如我們的語言與邏輯中的漏洞被利用了，卻不知從何反擊。
如果我們回到前面的框架，即把邏輯看作為模擬世界的工具，那麼我們可以提出第一個問題：前述的論證中所使用的上帝這個概念，是作為什麼的模型？我們可以在經驗中，找到沒有任何東西比其更好的東西嗎？我會說，在我的經驗裡面並沒有符合這樣的結構的東西，這個論證中的「上帝」不過是邏輯上的一個結構，而沒有對應到真實的東西。這裡他所創造出的上帝這個概念的結構，很類似於 \(\infty\) 與其他實數在一個全序關係（total order）下的角色。要在包含實數的全序下加入 \(\infty\) 這個成員是很容易的，你只要定義對於所有的實數 \(a\) ，\(a < \infty\) 就可以了。但當然，這不代表我們實際可以找到無限大的東西。同理，隨便把上帝定義為最好的東西，也是很容易的，但這樣在邏輯中創造出來的結構不一定會對應到什麼。
這個證明最讓人困惑的地方，在於他把「存在」這個詞放在了他的邏輯系統裡面，當它得出結論「上帝真實存在」的時候，似乎就產生了難以抵擋的「邏輯力」，迫使我們不得不接受，但同時又覺得哪裡怪怪的。當我們要理解邏輯到底告訴了我們什麼的時候，我們必須檢視我們使用的概念，例如「真實存在」，在上述的邏輯中扮演的作用，是否同構於此概念在現實中扮演的角色。這類似於當我們想要解釋一個遊戲中的物件的意義時，那當然就是看這樣的遊戲物件在遊戲中有什麼作用。舉例來說，「蘋果」在 Minecraft 這個遊戲中的意義就是那個會從蘋果樹葉掉落、可以吃掉來回復饑餓值、可以製作成金蘋果的東西。我們能不能將在 Minecraft 中關於蘋果的結論套用於真實的蘋果上，取決於 Minecraft 是不是一個世界的好模型（顯然在大多數時候不是）。 要注意的是，要理解一個詞在一個邏輯系統中扮演的意義，我們一定要先遺忘我們對這個詞原本的理解，而單純觀察這個詞在一個邏輯系統中扮演的角色。如果我們把前述論證中的「真實存在」取代成某個符號 X ，就可以讓我們更容易把這個字的日常意思先遺忘掉。接著我們就可以觀察到，在前述的論證中，「真實存在」這個詞所扮演的角色，單純就是一個事物可以有、也可以沒有的性質，並且他所採用的「好」的標準將「真實存在」視為一個加分項，這就是「真實存在」在他的邏輯中扮演的角色，沒有更多的意義了。可是在生活中，我們什麼時候會說一個東西「真實存在」？不正是我們看到、聽到、碰的到一個東西，或是觀察的到一個東西實際的影響力？如果我們採用這個概念而不是前述論證中出現的那個偽裝者，那麼 Anselm 本人在他的 Proslogion 中的告白似乎提供了最好的證據，說明上帝並不如他所想的真實存在，而只以一個想法存在：
Lord, if you are not here, where shall I seek you, being absent? But if you are everywhere, why do I not see you present? Truly you dwell in unapproachable light. But where is unapproachable light, or how shall I come to it? Or who shall lead me to that light and into it, that I may see you in it? Again, by what marks, under what form, shall I seek you? I have never seen you, O Lord, my God; I do not know your form.
純數學研究
在〈何為數學，以及為何 1+1 ＝ 2〉，我也使用了遊戲這個詞來描述某些數學研究。如果我們再回顧一下前面對模型與遊戲的討論，我們會發現數學也是處在於一個模型與遊戲之間的模糊地帶。
數學當初的誕生，我想應該也是在我們與環境互動的過程，由經驗所累積出來的產物。我們發展出各種數學工具，因為我們發現他們的實用之處，他們可以作為一個模型，捕捉世界狀態的某個面向。但是這樣本來作為模型的工具，可以經由各種過程，逐漸衍生出各種遊戲。這類似於假設我們有個可以模擬物理現象的程式，只要我們調整一下模擬的公式、參數，它就可能不再是現實的模型，但我們卻獲得了一個「遊戲」，可以讓我們看到不同的參數會產生怎樣的結果。而純數學研究就很類似這樣的過程，從比較實用的數學概念出發，我們可以將既有概念更加抽象化、廣義化、找出更多類似的數學物件、研究這些數學物件的性質、證明各種定理。在這個過程，可能會產生出很多無法作為模型（簡單講是沒有應用）的結構。不過相對於本體論證明中邏輯被濫用的例子，純數學相對的比較無害，甚至這些結構可能會在之後找到應用。儘管純數學可能會找到應用，但做這些研究的人很多是因為單純喜愛思考、尋找規律、喜歡由優雅的證明所帶來的那種滿足而做這樣的事情，而未必是因為這樣的研究有實用性，所以把這些活動稱作遊戲也並不為過。
結論
先驗推理、純粹的邏輯在哲學中是很常被誤用的東西，這樣的誤用主要是源自於一些哲學家對邏輯的過度神聖化，甚至於鄙視感官所獲得的經驗知識。在這篇文章中，我從模型的概念來解析邏輯，作為我們語言的一部分，怎麼去模擬世界、作為一個模型。邏輯之所以有用，是我們的概念結構與現實之間的同構關係。當這個關係不存在或是有誤的時候，邏輯便不會產生有效的結果，甚至會欺騙我們，誤以為只要邏輯的推論規則、語法上正確就會給出有效的知識。換個方式說，建構模型總是從經驗的觀察開始的。沒有建築在經驗上的概念，以及在這些概念上的邏輯推導，只不過就是遊戲罷了。所以前面講一大堆，其實就只是再次回到「經驗主義」（Empiricism），知識終究是要建築在感官蒐集的資料上。
要建立完全的經驗主義，不只要討論邏輯中所使用的概念如何透過經驗建構出來，也要討論邏輯本身的形式，即推論的規則，如何從經驗而來。在這篇文章中，我並沒有完整處理到這些問題。所以，我想我會在後續的文章中討論「後設思考、後設學習」的概念，好更進一步解釋經驗如何作為知識的一切基礎。